因数分解を教えてあげよう


弟が「因数分解を教えてほしい」と懇願して寝てしまった。次の日は出かけてしまう(基本情報技術者試験。勉強してないので受からん)。せっかくなのでWebページで解説してしまおうかと思った次第。弟は俺に感謝しろ、マジで。弟のノートを盗み見て、彼が解き方を理解していないであろう問題を解説する。

数式を挿入するためにWordPressプラグイン「Mathjax Latex」を導入。LateX記法も勉強できるし一石二鳥だね!

因数分解

$$a^3b + 16 – 4ab – 4a^2$$ を因数分解するよ。

そのまえに

因数分解とはその名の通り、式を因数に分解する操作のことだよ。そんなもんすっとばしたかったら本編へ

因数?

因数分解の操作ができる中学生はたくさんいるだろうけど、その意味を説明出来る人は少ないんじゃない?(俺の思い込みで、実はめちゃくちゃいるかもしれない)

まずは因数とは何か?辞書によるとこう定義されている。

一つの数や整式が、いくつかの数や整式の積の形で表されるときの、その個々の数や整式のこと。因子

出典:デジタル大辞泉

一つひとつ読み解いていくぞ。

とは

$$ 1 $$ とか $$ 310 $$ とか。(数の定義まで遡ってもいいけど、流石に面倒なので割愛)

整式とは

分母根号の中に文字が含まれていない代数式単項式多項式とがある。

出典:デジタル大辞泉

らしい。代数式は、いわゆる数式のことと思っていい。$$ 1 + 1 $$ とか $$ 2 \times 3 $$ とか。

整式数式特別な場合のことで、その特別な場合とは、分母や根号の中に文字が含まれていない場合を指す。注意したいのは、たとえ文字が含まれていたとしても、それが分母や根号のだったら、それは整式であるといえるよ。

例を挙げると、

$$ \frac{2a}{3} $$ は整式だけど、

$$ \frac{2}{3a} $$ は整式じゃない。分母に文字が含まれているから。

さて、一旦戻ろう。先の因数の定義を再掲。

一つの数や整式が、いくつかの数や整式の積の形で表されるときの、その個々の数や整式のこと。因子

出典:デジタル大辞泉

上で説明した数や整式が、いくつかの数や整式の積の形で表されるとき、つまり

$$ \frac{2a}{3} \times (2 + 3) $$のようなときの、その個々の数や整式のこと。ということは、このときの因数は

$$ \frac{2a}{3} $$ と $$ (2 + 3) $$ の2つに分けられるということだ。

以上が因数の説明だよ。本編に戻ろう。

本編

まずは式全体を眺めてみよう。

$$ a^3b + 16 – 4ab – 4a^2 $$

この式に登場する文字は a と b だ。式の操作はいろいろできて、例えば

$$ a(a^2b-4a-4b) + 16 $$

のように a で括ってみる。カッコの中身が因数分解できそうな形だけど、出来ませ~ん。+16 とかいうゴミがあるし・・・。これはダメそう。じゃあ +16 をなんとかしようと、元の式を次の形にしてみる。

$$ a^3b + 4(4-ab-a^2) $$

「4でくくれるじゃん、俺天才~」とか思うのも束の間、やっぱりカッコの中は因数分解できないし、 ゴミ( a^3b )が付く。

このように式の操作のパターンはたくさんあり、その中から正しい道を見つけるのが非常に難しい。

テクニック

こういうとき、いくつかのテクニックがある。式を並び替えるのだ。

指数順に並べてみる

$$ \begin{eqnarray} & &a^3b + 16 – 4ab – 4a^2 \\ &= &a^3b – 4a^2 – 4ab + 16 \end{eqnarray} $$

これは最も良く使うテクニック。だが今回の場合は有効に使うことが出来ない。

使われている文字の種類数で並べる

指数順に並べてダメだったとき、次にこのテクニックを適用してみよう。

$$ \begin{eqnarray} & &a^3b + 16 – 4ab – 4a^2 \\ &= &a^3b – 4ab – 4a^2 + 16 \end{eqnarray} $$

この形まで持っていけたら、何か見えてくるものがあると思う。

$$ \color{red}{(a^3b – 4ab)} – \color{blue}{(4a^2 + 16)} $$

と分ければ、左のカッコ内は

$$ \begin{eqnarray} & &\color{red}{a^3b – 4ab} \\ &= &\color{red}{ab(a^2 – 4)}\\ &= &\color{red}{ab(a+2)(a-2)} \end{eqnarray} $$

右のカッコ内は

$$ \begin{eqnarray} & &\color{blue}{4a^2 – 16} \\ &= &\color{blue}{4(a^2 – 4)} \\ &= &\color{blue}{4(a+2)(a-2)} \end{eqnarray} $$

以上より、

$$ \begin{eqnarray} && \color{red}{a^3b – 4ab} \,-\, \color{blue}{4a^2 + 16} \\ &= &\color{red}{ab(a+2)(a-2)} \,- \, \color{blue}{4(a+2)(a-2)} \end{eqnarray} $$

さらに、(a+2)(a-2)が共通項として現れているので

$$ \begin{eqnarray} &&ab\color{green}{(a+2)(a-2)} \,-\, 4\color{green}{(a+2)(a-2)} \\ &= &(ab-4)\color{green}{(a+2)(a-2)} \end{eqnarray} $$

よって

$$ \begin{eqnarray} &&a^3b+16-4ab-4a^2 \\ &= &(ab-4)(a+2)(a-2) \end{eqnarray} $$

以上。